ひとりごち

数学、人類学、音楽学などについて

12平均律の拡張 ー 自然数平均律から実数平均律まで

12平均律とは、1オクターヴを12等分するような音律のことです。

 

ピアノの鍵盤を見てみましょう。

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ドと上のドの関係のことを1オクターヴと言い、それをさらに12等分している音律なので、この音律のことを12平均律と言っています。普段日本で耳にする音楽のほとんどは、この12平均律という音律でできています。

 

さて、今回この記事では12平均律の「12」を、数学に登場する自然数の「12」として扱い、数学的に拡張していくのが目的です。12という自然数平均律から、有理数無理数……となっていくとどうなるのか、是非お付き合いください。

 

その前に、12平均律をまずは数学的に分析してみましょう。

 

冒頭で「1オクターヴを12等分する」というように述べましたが、この「12等分」というのは数学的にいえば等比数列で分割しているということになります。

そもそも1オクターヴというのは2倍の周波数をもつような音の関係のことをいうので、12平均律の場合は、12回掛け算すると丁度2倍になるような数が各音と音との関係(公比)になります。このとき公比は 2^{\frac{1}{12}}となります。

 

例えば基準となる音の周波数が440Hz(初項が440)だとすると

 440,440\times2^{\frac{1}{12}},440\times2^{\frac{2}{12}},440\times2^{\frac{3}{12}},440\times2^{\frac{4}{12}},440\times2^{\frac{5}{12}},440\times2^{\frac{6}{12}},

  440\times2^{\frac{7}{12}},440\times2^{\frac{8}{12}},440\times2^{\frac{9}{12}},440\times2^{\frac{10}{12}},440\times2^{\frac{11}{12}},880,\cdots

といったような数列になります。

実際の音名でいうと、440HzはA(ラ)の音なので、それが半音ずつ上がっていく半音階となります。つまり先ほどの数列は

A, A#, B, C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A,…

といったようなAから始まる半音階の周波数を表しています。

 

それでは、12以外の自然数でも試してみましょう。

 

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全スケール一覧

12平均律でキーをCに固定した場合の全スケール(全2048種類)は以下の通りです。

 

1音スケール(全1種類)

・C

 

2音スケール(全11種類)

・C - D♭
・C - D
・C - E♭
・C - E
・C - F
・C - F#
・C - G
・C - A♭
・C - A
・C - B♭
・C - B

 

3音スケール(全55種類)

・C - D♭ - D
・C - D♭ - E♭
・C - D♭ - E
・C - D♭ - F
・C - D♭ - F#
・C - D♭ - G
・C - D♭ - A♭
・C - D♭ - A
・C - D♭ - B♭
・C - D♭ - B
・C - D - E♭
・C - D - E
・C - D - F
・C - D - F#
・C - D - G
・C - D - A♭
・C - D - A
・C - D - B♭
・C - D - B
・C - E♭ - E
・C - E♭ - F
・C - E♭ - F#
・C - E♭ - G
・C - E♭ - A♭
・C - E♭ - A
・C - E♭ - B♭
・C - E♭ - B
・C - E - F
・C - E - F#
・C - E - G
・C - E - A♭
・C - E - A
・C - E - B♭
・C - E - B
・C - F - F#
・C - F - G
・C - F - A♭
・C - F - A
・C - F - B♭
・C - F - B
・C - F# - G
・C - F# - A♭
・C - F# - A
・C - F# - B♭
・C - F# - B
・C - G - A♭
・C - G - A
・C - G - B♭
・C - G - B
・C - A♭ - A
・C - A♭ - B♭
・C - A♭ - B
・C - A - B♭
・C - A - B
・C - B♭ - B

 

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3次元接吻数問題の中心球の大きさが変わったら?

接吻数問題とは

接吻数問題とは「n次元の単位球のまわりに単位球を重ならずに触れ合うように並べたとき、最大いくつ並べられるか」という問題です。このとき、配置可能なまわりの単位球の個数のことを接吻数といいます。これだけ聞いてピンとくる人も多いと思いますが、あの歴史的難問「ケプラー予想」の副産物的な問題です。

n=3のとき、つまり3次元接吻数問題は1694年のニュートンとグレゴリーの議論が発端となり、完全な証明が与えられたのが1953年(シュッテとヴェルデンの論文による)。解決まで実に250年以上を要した非常に難しい問題です。

 

ちなみに他のいくつかの次元でも接吻数が判明しているものがあります。
各次元に対する接吻数は以下の通り

・1次元 ー 2個
・2次元 ー 6個
・3次元 ー 12個
・4次元 ー 24個
・8次元 ー 240個
・24次元 ー 196560個

2016年時点で接吻数が求められているのは上記のたった6種類です。

上界と下界(これ以上でもこれ以下でもない数値)はある程度まで判明しているものの、8次元と24次元のそれぞれ特殊な構造を持った次元を除いて、5次元以上の次元では未だに正確な接吻数は求められていません。

 

さてここで3次元接吻数のニュートンとグレゴリーの議論の話に戻りましょう。

3次元接吻数問題が提起された当時、ニュートンは「3次元接吻数は12だ」と予想したのに対し、グレゴリーは「13個以上の単位球を周り配置することは可能なのではないか」と予想しました。

なぜこの食い違いが起きたのでしょうか?

 

12個の単位球を周りに配置するときに、正二十面体の頂点(これがちょうど12個になる)のような配置の仕方があります。このとき、ぴったりとお互いの単位球が接して固定されるわけでなく、単位球それぞれに若干の隙間が生じます。

試しにGrapherで正二十面体の頂点の配置を表現してみるとこんな感じ。(※画面の収まりの関係で球の半径を3/4にして計算してます)

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つまり正二十面体の頂点の要領で単位球を配置した場合、それぞれに若干の隙間が生じたために、「もう1個ぐらい詰めれば入るのでは?」と思わせたのがこの議論の発端だったのです。

 

しかし実際は、ニュートンに軍配が上がりました。

13個目の単位球は、他の12個の単位球をどうずらしても押し込むことはできません。言い方を少し変えれば、「13個の単位球が接するような中心球は、半径が1では小さすぎた」ということになります。

ここでひとつの疑問が生じます。

中心球の半径がいくつなら周りに13個の球を配置できるか?

 

つまり中心球を少し大きくして、13個目の単位球が入るスペースを作ってあげようということです。もちろん中心球が十分に大きくなってしまえば13個どころかいくらでも単位球を接することができるので、13個の単位球を配置できる最小の中心球の大きさを考えようという問題です。

逆に、12個の単位球の「若干の隙間」を埋めるためには、中心球を少し縮めれば良さそうです。12個接するには中心球をこれ以上縮められないというギリギリの最小値はいくつになるのでしょうか?

同様に中心球の大きさをいろいろ変えることによって、接吻数が変わってくるはずです。ということで、この記事では以下のような問題を考えていきます。

 

「3次元球Snの周りにn個の単位球を並べたときのSnの半径s(n)の最小値はいくつになるか?(n≥3とする)」

 

※ちなみにこの記事ではあくまで直感的に最小になりそうなs(n)の配置を作って、その長さを求めていくことを目的にしています。求めたs(n)の証明は与えてません。証明は難しい作業になると思うので、思いつき次第別の記事で扱っていこうと思います。

それでは早速S3の半径s(3)から順番に求めていきましょう。

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